05_Vector

1. 벡터의 개념과 표현

1.1. 스칼라와 벡터의 구분

• 스칼라 (Scalar)

  • 크기(magnitude)만으로 표현되는 양
  • 예: 압력·속력·질량·면적·부피

• 벡터 (Vector)

  • 크기에 더해 방향(direction)까지 가지는 양
  • 예: 속도·힘·가속도

1.2. 벡터를 보는 관점

(1) 기하학적 관점의 벡터

벡터를 크기(길이)와 방향을 가진 화살표로 본다.

• 화살표의 시점(Initial point; tail) $A$에서
• 종점(Terminal point; head) $B$로 향하는
• 방향을 가진 선분을 유향선분 $AB$, 벡터 $\overrightarrow{AB}$ 또는 $\vec{a}$

• 본질적 특징은 좌표계와 무관하게 벡터가 존재한다는 점이다.

  • 화살표는 평면 어디에 그려도 길이와 방향만 같으면 같은 벡터이다.

  • (위치 자유로움, free vector)

  • 벡터의 상등(equality) 또는 동치(equivalent)

    • 두 벡터가 위치와 관계 없이 크기와 방향이 같아야 한다.
    • → 즉 평행이동(translation)시킨 두 벡터는 서로 같다.

• 연산도 시각적으로 정의된다.

  • 덧셈
    • $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
    • 삼각형의 법칙 (벡터의 상등을 이용하여, 한 화살표의 머리에 다른 화살표의 꼬리를 잇는 것)
    • 평행사변형의 법칙 (평행사변형의 대각선)
  • 벡터의 뺄셈(subtraction) 또는 차(difference)
    • $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$
    • 음의 벡터를 더한다.
  • 스칼라배
    • 스칼라 α가 양수이면 화살표를 같은 방향으로 늘이거나 줄이고,
    • 음수이면 반대 방향으로 뒤집는다.
  • 대수적 관점의 내적
  • 대수적 관점의 외적

• 장점은 직관적이라는 것, 한계는 차원이 높아지면 그릴 수 없다는 것이다.

(2) 대수적 관점의 벡터

벡터를 순서 있는 성분들의 나열 $\vec{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$로 본다.

• 결정적인 차이는 이 표현이 기저(좌표계) 선택에 의존한다는 점이다.

  • 같은 화살표라도 좌표축을 바꾸면 성분 값이 달라진다.

• 연산은 모두 성분 단위 계산이 된다.

  • 덧셈과 뺄셈
    • 대응하는 성분끼리 더하거나 빼서 계산한다.
    • $v+w=(v_1+w_1,...,v_n+w_n)$
    • $v-w=(v_1-w_1,...,v_n-w_n)$
  • 스칼라배
    • 벡터의 각 성분에 스칼라 α 곱하기
  • 기하학적 관점의 내적
  • 기하학적 관점의 외적

• 장점은 계산이 기계적으로 가능하고, 4차원 이상이나 추상 공간으로 자유롭게 일반화된다는 것이다.

1.3. 벡터의 크기(노름; norm)

• 벡터의 크기

  • $\overrightarrow{AB}$의 크기 = 선분 $\overline{AB}$의 길이 = $|\overrightarrow{AB}|$ 혹은 $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$
  • 크기는 항상 $\Vert u\Vert \ge 0$이다. (영벡터일 때 0)

• norm

  • vector의 길이나 크기를 측정하는 방법

• 예

  • 평면에서 $u=(a,b)$이면, $\Vert u\Vert =\sqrt{(a^2+b^2)}$ (피타고라스 정리에 따라 정의)
  • $a=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\to \Vert a\Vert =\sqrt{1^2+2^2+3^2}$

종류	정리
Lp norm (일반화)	$(\Vert a_1{\Vert }^p+\Vert a_2{\Vert }^p+...+\Vert a_n{\Vert }^p{)}^{\frac{1}{p}}$
L1 norm (맨해튼 거리)	$(\Vert a_1{\Vert }^1+\Vert a_2{\Vert }^1+...+\Vert a_n{\Vert }^1{)}^{\frac{1}{1}}$
L2 norm (유클리드 거리)	$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2{)}^{\frac{1}{2}}$

1.4. 벡터의 평행

• 벡터의 평행

  • 두 벡터 $\vec{a},\vec{b}$의 방향이 같거나 반대일 때 $\vec{a},\vec{b}$는 서로 평행하다고 한다.
  • 기호로는 $\vec{a}//\vec{b}$로 나타낸다. (단, $\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}$)

• 두 벡터의 평행 조건

  • $\vec{a}//\vec{b}\iff \vec{a}=k\cdot \vec{b}$ (단, $\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}$, k≠0인 실수)

1.5. 기타 벡터

• 영벡터(zero vector; $\vec{0}$)

  • 모든 성분이 0인 벡터
  • 시점과 종점이 일치하는 벡터
  • 크기는 0이 된다. ($|\vec{0}|=0$)
  • $u+0=u$, $u+(-1)u=0$이 성립한다.

• 역벡터(음의 벡터, negative vector; $-\vec{a}$)

  • 벡터 $\vec{a}$와 크기가 같고 ($|-\vec{a}|=|\vec{a}|$)
  • 방향이 반대인 벡터
  • (더했을 때 합이 영벡터가 되는 벡터)

(1) 위치벡터

• 원점에서 (x, y, z)까지 향하는 벡터를 위치벡터라 한다.
  • n차원으로 확장하면 행벡터 u = (x₁, …, xₙ) 또는 열벡터 형태로 나타낸다.
  • 평면 벡터는 2×1 행렬이다.

• 벡터

  • $\vec{v}=a\vec{i}+b\vec{j}$ ($R^2$에서의 벡터를 표준기저벡터의 선형결합으로 표현)
  • 위치벡터(position vector): 벡터의 시점을 원점(O)으로 옮긴 벡터 ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}$)
  • 성분벡터(component vector): $\vec{v}=⟨a,b⟩$으로 표현
  • 좌표벡터: $[ab{]}^T$ (좌표를 열벡터로 표현)
  • 기저벡터: $\vec{i},\vec{j}$ ($R^2$에서의 표준기저벡터)

• 위치벡터와 성분표시법의 관계

  • 벡터의 구별 기준은 오직 벡터의 시점을 원점으로 옮겼을 때의 종점의 위치다.
  • 이 때 종점의 좌표만 알아도 무수히 많은 벡터들을 쉽게 구별할 수 있다.
  • → 벡터를 좌표 성분으로 표기할 수 있는 근거 마련

• 또한 이것을 n차원 공간인 $R^n$까지 확장하면 벡터 u는

  • 행벡터 표기 방식: $u=(x_1,x_2,...,x_n)$
  • 열벡터 표기 방식: $u=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]$

2. 벡터의 연산

2.1. 벡터의 덧셈과 뺄셈

• 벡터의 연산법칙
  • 덧셈 교환법칙(commutative property) 성립
    • $u+v=v+u$
  • 덧셈 결합법칙(associative property) 성립
    • $u+(v+w)=(u+v)+w$
  • 벡터의 덧셈에 대한 항등원 $\vec{0}$
    • $u+0=u$
  • 벡터 $\vec{a}$의 덧셈대 한 역원 $-\vec{a}$
    • $u+(-u)=0$

2.2. 벡터의 스칼라곱

• (영벡터 0과 스칼라 α, β에 대하여)

  1. α(u + v) = αu + αv
  2. (α + β)u = αu + βu
  3. α(βu) = (αβ)u
  4. 1u = u (곱셈 항등원)
  5. 0u = 0 (영벡터)

• 벡터의 스칼라곱(실수배)

  • 스칼라×벡터 → (실수 배) 벡터

  • 크기는 |α|·‖u‖가 된다.

  • 일반적인 대수적인 성질 성립

  • 결합법칙 성립

  • 좌분배법칙, 우분배법칙 성립

3. 벡터의 성분

• 예: 벡터 (3, 4)
  • 크기: $|\vec{v}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
  • 방향: $\theta ={\tan }^{-1}(\frac{4}{3})$
  • 단위벡터: 원래 벡터/크기

3.1. 단위벡터

• 단위벡터(unit vector)

  • 크기가 1인 벡터
  • 정의: $\hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

• 단위좌표벡터

  • 임의의 벡터를 그 크기로 나누면 (1/‖v‖)v로 같은 방향의 단위벡터를 얻는다.
  • 좌표축 방향의 특별한 단위벡터 i, j (3차원은 i, j, k)를 단위좌표벡터 또는 기저벡터라고 한다.

(1) 유클리드 공간 $R^2$

• 단위벡터: {(1, 0), (0, 1)}이 종점인 위치벡터
• 평면벡터: 단위벡터의 실수 배들을 결합하여 평면상의 모든 벡터를 만들 수 있다.

• 평면벡터의 norm: $|\vec{p}|=\sqrt{p_1^2+p_2^2}$

• 벡터의 성분(2차원)의 덧셈과 뺄셈

  • 그림을 그리는 대신, 벡터의 성분끼리 대수적으로 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.
  • $\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OP}=(p_1+q_1,p_2+q_2)$
  • $\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=(p_1-q_1,p_2-q_2)=\overrightarrow{QP}$

• 평면벡터의 실수배

(2) 유클리드 공간 $R^3$

• 단위벡터: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}이 종점인 위치벡터
• 공간벡터: 단위벡터의 실수 배들을 결합하여 공간상의 모든 벡터를 만들 수 있다.

• 공간벡터의 norm: $|\vec{p}|=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}$

• 공간벡터의 실수배

3.2. 방향비(방향 코사인)

• 방향비(방향 코사인)
  • $cos\alpha =\frac{d_1}{|\vec{d}|},cos\beta =\frac{d_2}{|\vec{d}|},cos\gamma =\frac{d_3}{|\vec{d}|}$

Python 실습

• SciPy로 노름 계산하기