공집합이 아닌 실수(R) 위의 집합 V가
벡터의 합과 스칼라 곱이 정의되고
모든 벡터 u,v,w∈V와 스칼라 k,l,m∈R에 대해
다음 10가지 공리를 모두 만족하면
V를 벡터공간이라고 한다.
덧셈에 대한 공리
닫힘성(closure): u+v∈V
항등원(identity): 영벡터 0∈V가 존재하며, u+0=u
역원(inverse): 역원 −a∈V가 존재하며, u+(−u)=0
결합법칙(associativity): (u+v)+w=u+(v+w)
교환법칙(commutativity): u+v=v+u
스칼라 곱에 대한 공리
닫힘성(closure): k⋅u∈V
항등원(identity): 1⋅u=u
결합법칙(associativity): k(lu)=(kl)u
왼쪽 분배법칙(left distributivity): k(u+v)=ku+kv
오른쪽 분배법칙(right distributivity): (k+m)u=ku+mu
스칼라 곱의 닫힘에 대해
모든 차원의 벡터공간은 반드시 0 벡터와 자기 자신을 포함한다.
k=0일 때 0벡터, k=1일 때 자기 자신이 포함됨을 유추할 수 있다.
1.2. 벡터공간 개념
벡터공간은
실벡터공간(Rn 등)과
복소벡터공간으로 나뉜다.
영벡터공간
원소가 0 하나뿐인 공간
기본 성질
0u=0
α0=0
(−1)u=−u
αu=0이면 α=0 또는 u=0
1.3. 벡터공간의 기호와 양식
(1) 유클리드 공간 Rn
직교좌표를 의미하는 2차원을 포함한 n차원까지의 공간
R2이란? (□, □) 양식을 갖는다. 즉 실수 성분을 갖는 2차원 벡터
R3이란? (□, □, □) 양식을 갖는다. 즉 실수 성분을 갖는 3차원 벡터
Rn이란? (□, □, □, ⋯, □) 양식을 갖는다. 즉 실수 성분을 갖는 n차원 벡터
(2) 실수 성분을 갖는 m×n 행렬
행렬Matm×n(R): 즉 다음과 같은 양식을 갖는다. Matm×n(R)=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn
(3) 실수 계수를 갖는 n차 이하의 다항식
Pn(R)또는Rn[x]
c1+c2x+c3x2+⋯+cnxn의 양식을 갖는다. (단, cn은 상수)
(단, c1xn+c2xn−1+c3xn−2+⋯와 같이 내림차순으로 쓸 때도 있다.)
예: 3차 이하의 다항식 P3(R)
ax3+bx2+cx+d로 놓으면 → a=0, b=1, c=0, d=1이면 x2+1을 얻는다.
1.4. 벡터공간의 크기
(1) 유클리드 공간 R의 크기
Rn 벡터의 크기는 || ||을 사용하여 표기한다. → ∣∣x∣∣=x⋅x
예: 3차원 벡터
x=(a, b, c)일 때 ∣∣x∣∣=a2+b2+c2이다.
이 식을 내적 기호(·)로 나타내기 위해 다음 과정을 거친다.
x⋅x=a2+b2+c2이므로 ∣∣x∣∣=x⋅x가 성립한다.
(2) 행렬의 크기
∣∣A∣∣=i=1∑mj=1∑n(aij)2 (단, A=(aij) m×n 행렬)
(3) 함수의 크기
∣∣f∣∣=∫ab{f(x)}2dx (단, f는 구간 [a,b]에서 연속인 함수)
1.5. 벡터공간이 아님을 판단하기
v=0을 넣어서 성립하지 않는다면 벡터공간이 아니다.
2. 부분공간 (Subspace)
2.1. 부분공간이 될 조건
벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W에 대해,
W는 아래 세 개의 규칙을 만족할 때,
W를 V의 부분공간(subspace)이라 한다.
0벡터 포힘: 0∈W (단, 0은 영성분)
덧셈에 닫힘: w1+w2∈W, kw1∈W (단, k는 스칼라)
스칼라곱에 닫힘: k1w1+k2w2∈W (단, k는 스칼라)
발문 예시
모든 벡터공간 W는 {0}과 자기 자신(W)를 포함한다.
벡터공간의 두 부분공간의 교집합은 공집합이 될 수 없다.
평면 상의 원점을 지나는 직선은 하나의 벡터에 의해 생성되는 실공간 R2의 부분공간이다.
2.2. 부분공간의 예
(1) row space
행렬 A의 모든 행벡터들이 span하는 Rⁿ의 부분공간 → 행을 벡터로 보고 span한 공간
행렬과 벡터의 곱 → row space의 관점에서 바라보기 → R(A), Range(A)
행렬 곱 AB의 각 행은 B의 행 벡터의 선형결합이다.
x_1& x_2& x_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a^T_1\\ a^T_2\\ a^T_3\end{bmatrix}
=x_1a^T_1+x_2a^T_2+x_3a^T_3\text{ : 선형결합}$$
#### (2) column space
- 행렬 A의 모든 **열벡터들이 span**하는 Rᵐ의 부분공간 → 열을 벡터로 보고 span한 공간
- 행렬과 벡터의 곱 -> column space의 관점에서 바라보기 → $C(A)$, $Range(A)$
- 행렬 곱 AB의 각 열은 A의 열 벡터의 선형결합이다.
$$Ax=\begin{bmatrix}
a_1& a_2& a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}
=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3\text{ : 선형결합}$$
- 학습 필요
- zero vector space
- null space: Ax=0을 만족하는 x의 집합
- 특징: row space와 수직
## 3. 선형결합·선형독립·선형종속
### 3.1. 선형결합
- **선형결합 (일차결합)**
- $a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$ 형태의 표현
- 예: $v=[2,1,5]=v_1+2v_2-v_3$
- ==벡터공간의 벡터에 스칼라를 각각 곱하여 모두 더하면 일차결합을 얻는다.==
- 벡터공간 V의 원소(임의의 벡터) $v_1, v_2, ⋯, v_n$에 대하여 실수를 각각 곱하여 모두 더하면
- $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+⋯+a_nv_n$을 얻는다.
- 이것을 벡터 $v_1, v_2, ⋯, v_n$의 **일차결합**(선형결합)이라 한다.
### 3.2. 선형독립/선형종속
- $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$이 성립할 때,
- **계수가 모두 0이어야만** 성립 → **선형독립**
- 0이 아닌 계수가 존재 → **선형종속**
- 한 벡터가 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현되면 선형종속
- (예: $v=-2u$)
- **선형종속이 되는 경우 요약**
- $R^2$에서 두 벡터가 같은 직선상 또는 평행
- $R^2$에서 벡터가 3개 이상
- $R^3$에서 한 벡터가 다른 두 벡터의 선형결합
- **선형/일차 독립**(linear independent)
- $a_1v_1+a_2v_2+⋯+a_nv_n≠0$
- **선형/일차 종속**(linear dependent)
- $a_1v_1+a_2v_2+⋯+a_nv_n=0$
- $a_1=a_2=⋯=a_n=0$일 때 $v_1, v_2, ⋯, v_n$이 선형독립
| 구분 | 일차독립 | 일차종속 |
| :--: | :--------: | :--------: |
| 정방행렬 | 행렬식≠0 | 행렬식=0 |
| 장방행렬 | 랭크=행의 개수 | 랭크<행의 개수 |
| 함수 | 론스키안 행렬식≠0 | 론스키안 행렬식=0 |
- $A$의 열벡터들이 선형 독립이다.
- ⇔ 동차선형시스템 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$이 자명해(=0)만 가진다.
- ⇔ $\text{rank}(A)=n$ (열의 개수) (행렬이 full rank)
- ⇔ $A$의 null space가 $\{\mathbf{0}\}$이다.
## 4. 생성·기저·차원
### 4.1. 기저
- **기저 (Basis)**
- 벡터공간 $V$를 **생성**(span)하는, 선형독립인 벡터들의 집합
- 벡터공간의 기저는 여러 개 있을 수 있다.
- → 기저로 표현하면
- 모든 $v$에 대해 $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=v$가 되는 계수가
- **유일하게 한 세트만** 존재한다.
- 기저 판정 핵심
- 독립이어도 생성 못 하면 기저 아님
- 생성해도 종속이면 기저 아님
---
- **기저**의 원소들을 **일차결합**하면,
- 해당 **벡터공간** 전체를 **span**한다.
- 일반적으로 기저와 **일차종속**일 수 있다. (기저의 span 안에 있음)
- 기저의 원소들은 반드시 서로 **일차독립**이다.
- 일차독립의 특수: 서로 직교(orthogonal)
- 일차독립의 더 특수: 서로 직교하며 크기가 1 = 정규직교(orthonormal)
- orthonormal 중에서 정형화된 **표준기저**, 그렇지 않으면 **비표준기저**
#### (1) 표준기저
- **표준기저 (Standard Basis)**
- $R^3$의 $[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]$ 처럼 자연스러운 기저
| 벡터공간 | 표준기저 |
| :------------: | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: |
| $R^2$ | {(1, 0), (0, 1)} |
| $R^3$ | {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} |
| $P_2(R)$ | {1, x, $x^2$} |
| $R_2[x]$ | {1, x, $x^2$} |
| $Mat_{2×2}(R)$ | $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ |
#### (2) 비표준기저
- **비표준기저 (Non-standard Basis)**
- 표준기저가 아닌 기저
- **일차독립**
- 예: {(1, -1), (0, 1)}
- $R^2$의 기저가 될 수 있다.
- **일차종속**
- 예: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
- 기저는 {(1, 1)}이다. 1차원 직선 공간을 이룬다.
### 4.2. 생성
- **생성 (Span)**
- **$V$의 모든 벡터를 $v_1,\dots,v_n$의 선형결합으로 나타낼 수 있으면, 이 벡터들이 $V$를 **생성**한다고 한다.
- ==일차결합으로 만든 모든 벡터들은 span된 벡터이다.==
- $v_1, v_2, ⋯, v_n$의 일차결합으로 만든 모든 벡터들을 생성된 벡터라 하며,
- 생성된 벡터공간을 $W=span\{v_1, v_2, ⋯, v_n\}$라 하면 W는 V의 부분공간이다.
- $W=\{a_1v_1+a_2v_2+⋯+a_nv_n|a_1, ⋯, a_n∈R\}=span\{v_1, v_2, ⋯, v_n\}$ (단, W⊂U)
- $\{v_1, v_2, ⋯, v_n\}$가 **일차독립**이고 V를 생성하면 $\{v_1, v_2, ⋯, v_n\}$는 V의 **기저**다.
- ∴ $V=\{k_1v_1+k_2v_2+⋯+k_nv_n|k_1, ⋯, k_n∈R\}=span\{v_1, v_2, ⋯, v_n\}$
- 이때 유일한 순서쌍 $\{k_1, k_2, k_3, ⋯, k_n\}$을 **좌표벡터**라 한다.
- 예: 2차원 기저에 속하는 두 원소 (1, 0), (0, 1)
- 만일 4(1, 0)+3(0, 1)로 **결합**하면 (4, 3)을 만들 수 있다.
- 더 나아가, (4, 3)뿐만 아니라 적절한 실수를 곱하고 더하여 2차원 내의 모든 벡터를 만들 수 있다.
- 이때 (1, 0)과 (0, 1)은 서로가 서로를 만들 수 없으므로 서로 **독립**이다.
- 따라서 집합 {(1, 0), (0, 1)}은 2차원 공간벡터의 **기저**가 될 수 있다.
- 기저의 원소에 각각 곱한 실수 4, 3으로 만든 순서쌍 (4, 3)을 **좌표벡터**라 한다.
### 4.3. 차원
- 벡터공간의 **차원 (Dimension; $\dim(V)$)**
- 벡터공간 $V$의 기저의 원소의 개수; 기저를 이루는 벡터의 **개수**
- 영벡터공간은 0
- 유한 기저가 $n$개면 $\dim(V)=n$
- **차원정리**
- 벡터공간 V의 부분공간 U, W에 대하여, 다음 식이 성립한다.
- $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)$