07-1_고유벡터와 고유값

1. 고유값과 고유벡터의 정의

• 정의 (Definition)

  • $n\times n$인 $n$차 정방행렬 $A$에 대하여,

  • $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ (단, $\mathbf{x}\ne 0$)를 만족할 때,

  • Vector $\mathbf{x}$가 고유벡터(Eigenvector; $\mathbf{x}$)

  • Scalar $\lambda$가 고유값(Eigenvalue; $\lambda$)

  • 이때 해가 존재할 필요충분조건이 특성방정식이다.

    • $p(\lambda )=\det (A-\lambda I)=|A-\lambda I|=0$

• 기하학적 의미

  • 행렬을 곱한다는 것은 선형변환을 가하는 것이다.
  1. 이때 고유벡터는 선형변환 후에도 방향이 변하지 않고,
  2. 크기만 $\lambda$배로 바뀌는 벡터이고, 그 배율 $\lambda$가 고유값이다.

1.1. 고유벡터

• Case 1. $\mathbf{x}$가 영벡터일 때

  • $\lambda$에 상관 없이 좌변과 우변이 영벡터인 항등식이다.
  • 목적은 $\lambda$를 알아보는 것이므로 $\mathbf{x}$가 영벡터인 경우는 고려하지 않는다.

• Case 2. $\mathbf{x}$가 영벡터가 아닐 때

  • $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$를 만족하는 λ는 유한개이며, λ를 행렬 A의 고유치(또는 고유값)라 한다.
  • $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$를 만족하는 영이 아닌 벡터 v를, λ에 대응하는 A의 고유벡터라 한다.
  • |A-λI|=0일 때 v≠0인 해가 존재한다.

• 고유벡터 (Eigenvector; $\mathbf{x}$)

  • 고유값 $\lambda$에 대응하는 $n\times 1$ 벡터
  • 고유벡터는 상수배가 가능하므로 유일하지 않다. (Eigenvectors are not unique.)

• 고유벡터 구하는 절차

  1. 특성방정식을 풀어서 고유값 $\lambda$를 구한다.

  2. $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$을 만족하는 벡터 $\mathbf{x}$를 구하면 된다.

  • 해는 자유변수에 임의 값을 대입해 정수 형태로 정리한다.
  • 고유벡터에 0이 아닌 상수를 곱한 것도 모두 고유벡터이다.

• 주의

  • 고유값을 구하기 전에 행 연산을 하면 다른 고유값이 나온다.
  • 행 연산은 고유값을 구한 후 고유벡터를 찾을 때만 사용해야 한다.

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• 고유공간 (Eigen Space)
  • 하나의 고유값에 대응하는 고유벡터들의 집합

1.2. 고유값

• 고유값(Eigenvalue; $\lambda$)

  • 고유값은 0이 될 수 있다.

• 고유값 문제

  • 행렬의 모든 고유값과 고유벡터를 구하는 것

1.3. 특성방정식

1. 특성다항식 (고유다항식)

   • $A-\lambda I$의 행렬식 $|A-\lambda I|$

2. 특성방정식 (고유방정식)

   • $p(\lambda )=|A-\lambda I|=0$을 만족하는 식

   • $\lambda$에 관한 $n$차 다항식이다.

   • A의 특성방정식의 해 λ를 구하면 A의 고유값들을 얻는다.

   • 2차 정방행렬의 특성방정식

     • ${\lambda }^2-tr(A)\lambda +|A|=0$

   • 3차 정방행렬의 특성방정식

     • ${\lambda }^3-tr(A){\lambda }^2+(ae+ei+ia-bd-cg-fh)\lambda -|A|=0$

• 중요 성질

  • $n$개의 서로 다른 고유값 ⇒ 고유벡터들이 1차 독립 (역은 성립하지 않는다.)

• 중복해 (Multiplicity)

  • 어떤 고유값이 특성다항식의 해로 2번 이상 나타나면 중복해이다.
  • 예) $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0\text{0}& 1\end{array}\right]$ → $(\lambda -1{)}^2=0$ → ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$

(1) 정석 해법

1-λ& 2\\ 2& 1-λ\end{vmatrix}=(1-λ)^2-4=0$$ #### (2) 2차 정방행렬 - $λ^2-tr(A)λ+|A|=0$ - 특성방정식의 근은 행렬 A의 고유치($λ_1,\ λ_2$)이다. - *cf. 케일리-헤밀턴 정리* #### (3) n차 정방행렬 | 방정식 | 모든 합 | 두 곱의 합 | 모든 곱 | | :-----------: | :------------: | :---------------: | :--------------------: | | 2차 방정식 근과 계수 | $-\frac{b}{a}$ | (3차 X) | $\frac{c}{a}$ | | 3차 방정식 근과 계수 | $-\frac{b}{a}$ | $\frac{c}{a}$ | $-\frac{d}{a}$ | | n차 방정식 근과 계수 | $-\frac{b}{a}$ | (3차 X) | $(-1)^n\frac{last}{a}$ | | 2차 정방행렬 특성방정식 | tr(A) | (3차 X) | \|A\| | | 3차 정방행렬 특성방정식 | tr(A) | ae+ei+ia-bd-cg-hf | \|A\| | | n차 정방행렬 특성방정식 | tr(A) | (3차 X) | \|A\| | ## 2. 여러가지 성질 ### 2.1. 고유값의 성질 - 고유값 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$에 대해 1. $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1+\cdots+\lambda_n$ (Trace는 고유값의 합) 2. $\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1\cdots\lambda_n$ (Determinant는 고유값의 곱) 3. **전치행렬** $A^T$의 고유값은 원래와 동일 4. **역행렬** $A^{-1}$의 고유값: $\frac{1}{\lambda_1}, \dots, \frac{1}{\lambda_n}$ 1. 역행렬이 존재(가역)하려면 A의 고유치에 0이 하나라도 포함되어서는 안 된다. 2. $A^{-1}$의 고유치는 A의 고유치의 역수다. 5. **스칼라 배** $kA$의 고유값: $k\lambda_1, \dots, k\lambda_n$ 6. **거듭제곱** $A^k$의 고유값: $\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k$ - **삼각행렬** - 상/하 삼각행렬의 고유값은 **주대각선 성분 그대로**이다. - 예) $\begin{bmatrix}4&1\0&-5\end{bmatrix}$의 고유값은 $4, -5$ ### 2.2. 고유벡터의 성질 > A의 고유치에 대응하는 고유벡터 v에 대하여, - A-kI의 고유벡터는 v이다. - kA의 고유벡터는 v이다. - $A^{-1}$의 고유벡터는 v이다. - kv도 A의 고유벡터가 될 수 있다. - 서로 다른 고유치에 대응하는 고유벡터는 일차독립이다. - $A^n$의 고유벡터는 v이다. - 대칭행렬의 서로 다른 고유치에 대응되는 고유벡터는 서로 수직이다. - 고유치가 실수/복소수라면 고유벡터도 실수/복소수 성분을 포함한다. - n차 정방행렬 A, B가 서로 같은 고유벡터를 가지면 AB=BA이다. (단, 역은 성립 안함) ## 3. 선형독립성과 동치 명제 - **선형독립 관계** - 중복해가 아닌 고유값에 대응하는 선형독립 고유벡터는 유일 - 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 선형독립 - $n$개의 서로 다른 고유값을 가지면 $n$개의 선형독립 고유벡터를 가짐 - **다음은 모두 동치이다.** 1. $\lambda$가 $A$의 고유값이다. 2. $\det(A - \lambda I_n) = 0$ (특성방정식) 3. $A - \lambda I_n$가 비가역 4. $(A-\lambda I_n)\mathbf{x}=\mathbf{0}$이 비자명해를 가진다. ## 4. 고유벡터 판정 예시 - 행렬 $A = \begin{bmatrix}1&6\5&2\end{bmatrix}$에서 $A\mathbf{u} = -4\mathbf{u}$이므로 $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}6\-5\end{bmatrix}$는 고유값 $-4$의 고유벡터이다. - 반면 $A\mathbf{v}$가 $\mathbf{v}$의 스칼라 배가 아니면 그 $\mathbf{v}$는 고유벡터가 아니다. - 즉 변환 후에도 같은 직선 위에 있어야 고유벡터이다. ## Python 실습 - [[A3_NumPy 선형대수 실습#21-고유값과-고유벡터-eig|np.linalg.eig로 고유값·고유벡터 구하기]]