1. 행렬의 대각화
- 대각화의 성패는 일차독립인 고유벡터를 n개 확보할 수 있는가에 달려 있다.
- 고유값이 모두 다르면 자동으로 가능하지만,
- 중근이 있을 경우 그 고유값에서 필요한 만큼(중복도만큼)의 일차독립 고유벡터가 나오는지를 반드시 확인해야 한다.
1.1. 대각화의 정의
- Introduction. 대각행렬 D의 장점
- Diagonal Matrix의 지수승 (Dk)
- Diagonal Matrix의 Determinant (det(D))
- Diagonal Matrix의 역행렬 (D−1)
일반적인 Matrix를 Diagonal Matrix와 유사한 형태로 표현할 수 없을까?
1.2. 행렬의 닮음
-
닮은행렬 (Similar Matrix)
- n차 정방행렬 A와 A′에 대하여,
- A′=P−1AP를 만족하는 가역행렬 P가 존재할 때,
- A와 A′를 서로 닮은행렬이라 한다.
-
두 닮은 행렬 A와 A′는 rank, det, tr, 특성방정식, 고유값이 같다.
1.3. 대각화 가능
1.4. 고유벡터의 독립성
- 서로 다른 고유값 λ1,⋯,λk에 대응하는 고유벡터 x1,⋯,xk는 항상 일차독립이다.
- (증명은 일차종속이라 가정한 뒤 모순을 끌어내는 귀류법을 사용)
1.5. 충분조건
- n차 정사각행렬 A가 n개의 서로 다른 고유값을 가지면, A는 대각화 가능하다.
- (단, 역은 성립하지 않음 — 고유값이 중복돼도 대각화 가능할 수 있음)
1.6. 대각화 절차
예제 1
-
고유값 구하기
- 특성방정식은 λ2−4λ−5=(λ−5)(λ+1)=0
- 고유치는 λ=5 또는 λ=-1
-
고유벡터 구하기 (λ=-1일 때)
2& 4\\
2& 4\end{pmatrix}
\text{ ⇒ RREF: }\begin{pmatrix}
1& 2\end{pmatrix}
\text{ ⇒ }x_1=-2x_2
\text{ ⇒ 고유벡터: }\begin{pmatrix}
-2\\
1\end{pmatrix}$$
3. 고유벡터 구하기 (λ=5일 때)
$$A-λI=\begin{pmatrix}
-4& 4\\
2& -2\end{pmatrix}
\text{ ⇒ RREF: }\begin{pmatrix}
1& -1\end{pmatrix}
\text{ ⇒ }x_1=x_2
\text{ ⇒ 고유벡터: }\begin{pmatrix}
1\\
1\end{pmatrix}$$
4. 대각행렬 D와 고유벡터행렬 P
$$D=\begin{pmatrix}
-1& 0\\
0& 5\end{pmatrix}
,\
P=\begin{pmatrix}
-2& 1\\
1& 1\end{pmatrix}$$
#### 예제 2
- Q. $A=\begin{pmatrix}1&4\\2&3\end{pmatrix}$를 대각화하여라.
1. 고유값 구하기
- 특성방정식은 $λ^2-4λ-5=(λ-5)(λ+1)=0$
- 고유치는 λ=5 또는 λ=-1
2. 고유벡터 구하기 (λ=-1일 때)
$$A-λI=\begin{pmatrix}
2& 4\\
2& 4\end{pmatrix}
\text{ ⇒ RREF: }\begin{pmatrix}
1& 2\end{pmatrix}
\text{ ⇒ }x_1=-2x_2
\text{ ⇒ 고유벡터: }\begin{pmatrix}
-2\\
1\end{pmatrix}$$
3. 고유벡터 구하기 (λ=5일 때)
$$A-λI=\begin{pmatrix}
-4& 4\\
2& -2\end{pmatrix}
\text{ ⇒ RREF: }\begin{pmatrix}
1& -1\end{pmatrix}
\text{ ⇒ }x_1=x_2
\text{ ⇒ 고유벡터: }\begin{pmatrix}
1\\
1\end{pmatrix}$$
4. 대각행렬 D와 고유벡터행렬 P
$$D=\begin{pmatrix}
-1& 0\\
0& 5\end{pmatrix}
,\
P=\begin{pmatrix}
-2& 1\\
1& 1\end{pmatrix}$$
### 예제 2
$$A=\begin{pmatrix}
2& 2\\
4& -5\end{pmatrix}$$
- **특성방정식**
$λ^2+3λ-18=0$
$(λ-3)(λ+6)=0$
- **고유벡터 1**
$$A-3I=\begin{pmatrix}
-1& 2\\
4& -8\end{pmatrix}
⇒\begin{pmatrix}
2\\
1\end{pmatrix}$$
- **고유벡터 2**
$$A+6I=\begin{pmatrix}
8& 2\\
4& 1\end{pmatrix}
⇒\begin{pmatrix}
1\\
-4\end{pmatrix}$$
- 고유벡터행렬 P와 대각행렬 D
$$P=\begin{pmatrix}
2& 1\\
1& -4\end{pmatrix},\
D=\begin{pmatrix}
3& 0\\
0& -6\end{pmatrix}$$
## 2. 대칭행렬의 직교대각화
- 직교대각화의 전체 흐름
1. 고윳값 구하기
2. 각 고윳값의 고유벡터 구하기
3. (중복 고윳값이면) 그람-슈미트로 직교화
4. 모든 벡터 정규화
5. 이 벡터들을 열로 모아 $P$ 구성
- 핵심 포인트는
- **대칭행렬이라는 조건이 직교대각화 가능성과 동치**라는 점,
- 그리고 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 직교하므로 정규화만 하면 되지만 **중복 고윳값에서는 그람-슈미트가 추가로 필요**하다는 점이다.
### 2.1. 직교대각화의 정의와 핵심
- **Definition**
- 정방행렬 $A$가 어떤 직교행렬 $P$에 대하여, 대각행렬 $D = P^{-1}AP$이면
- (또는 $D=P^{T}AP$)
- $A$를 **직교대각화 가능한 행렬**이라 하고,
- $P$를 **$A$를 직교대각화하는 행렬**이라고 한다.
- **핵심**
- $n$차 정사각행렬 $A$에 대해 다음은 동치이다.
- $A$는 직교대각화 가능하다. ⟺ $A$는 대칭행렬이다.
- 대칭행렬이면
1. 고유값이 모두 실수
2. 서로 다른 고유값의 고유벡터는 직교
3. 직교 고유기저가 존재
- 따라서 $P$의 열은 $A$의 고유벡터들이 된다. ($P^T = P^{-1}$)
- *P는 정규화된 고유벡터 행렬*
- 증명 ((1)⇒(2) 방향)
- $A = PDP^{-1}$이고 $P$가 직교행렬이므로 $A = PDP^{T}$
- 그러면 $A^{T} = (PDP^{T})^{T} = PD^{T}P^{T} = PDP^{T} = A$ 이므로 $A$는 대칭행렬이다.
### 2.2. 대칭행렬의 고유벡터
- 대칭행렬 $A$에서 **서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 서로 직교**한다.
- 증명의 흐름은, $A\mathbf{x}_1 = \lambda_1\mathbf{x}_1$, $A\mathbf{x}_2 = \lambda_2\mathbf{x}_2$ 에서 출발하여 대칭성($A^T = A$)을 이용해 $\lambda_1 \mathbf{x}_1^{T}\mathbf{x}_2 = \lambda_2 \mathbf{x}_1^{T}\mathbf{x}_2$를 얻고, $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 이므로 $\mathbf{x}_1^{T}\mathbf{x}_2 = 0$ (직교)임을 보인다.
### 2.3. 직교대각화 절차
#### 예제 1
$$A=\begin{pmatrix}
0&0&-2\\
0&-2&0\\
-2&0&3\end{pmatrix}$$
- **특성방정식**
$λ^3-λ^2+(0-6+0-0-4-0)λ-(-2×-4)=0$
$λ^3-λ^2-10λ-8=0$
$(λ+1)(λ^2-2λ-8)=0$
$(λ+1)(λ-4)(λ+2)=0$
고윳값 $\lambda_1=-2,\ \lambda_2=4,\ \lambda_3=-1$ 이 모두 다르므로 고유벡터가 자동으로 직교집합
각 벡터를 **정규화(단위벡터화)** 만 하면 직교행렬 $P$ 완성
- **고유벡터 1**
$$A-4I=\begin{pmatrix}
-4&0&-2\\
0&-6&0\\
-2&0&-1\end{pmatrix}
⇒\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-2\end{pmatrix}$$
- **고유벡터 2**
$$A+1I=\begin{pmatrix}
1&0&-2\\
0&-1&0\\
-2&0&4\end{pmatrix}
⇒\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}
2\\
0\\
1\end{pmatrix}$$
- **고유벡터 3**
$$A+2I=\begin{pmatrix}
2&0&-2\\
0&0&0\\
-2&0&5\end{pmatrix}
⇒\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\end{pmatrix}$$
#### 예제 2 (고유값이 중복된 경우)
$$A=\begin{pmatrix}
4&2&2\\
2&4&2\\
2&2&4\end{pmatrix}$$
- **특성방정식**
$λ^3-12λ^2+(3×16-3×4)λ-(4×12-2×4+2×-4)=0$
$λ^3-12λ^2+36λ-32=0$
$(λ-2)(λ^2-10λ+16)=0$
$(λ-2)(λ-2)(λ-8)=0$
고유값 $\lambda_1=2$에 대응하는 일차독립 고유벡터 두 개($\mathbf{x}_1=[-1,1,0]^T$, $\mathbf{x}_2=[-1,0,1]^T$)는 자동으로 직교하지 않으므로, **그람-슈미트 정규직교화**를 적용해 직교화한 뒤 정규화
- **고유벡터 1**
$$A-2I=\begin{pmatrix}
2& 2& 2\\
2& 2& 2\\
2& 2& 2\end{pmatrix}$$
- **고유벡터 2**
$$A-8I=\begin{pmatrix}
-4& 2& 2\\
2& -4& 2\\
2& 2& -4\end{pmatrix}$$