02_Two Causal Frameworks

• 요약 (Summary)
  1. 조정(Adjustment): PO의 비교란 가정과 SCM의 조정 기준(백도어 등)은 모두 공변량 조정을 통해 인과 효과를 식별하기 위한 논리적 근거를 제공한다.
  2. ATE와 CATE: CATE는 특정 공변량 조건 하의 효과이며, 이를 전체 분포에 대해 평균 내면 ATE가 된다.
  3. 추정 기법: 성향 점수를 활용한 IPW, 그리고 회귀 모델과 IPW를 결합하여 안정성을 높인 이중 강건(Doubly Robust) 추정량이 널리 사용된다.

1. 잠재적 결과 프레임워크(PO)

처치(Treatment) 전후의 잠재적 결과를 비교하는 데 초점을 둔다.

• SUTVA (Stable Unit Treatment Value Assumption)

  • 인과 추론을 위해 필요한 기본적인 가정이다.
  1. 상호 간섭 없음 (No Interference)
     • 나의 결과가 타인의 처치 여부에 영향을 받지 않아야 한다.
     • (위반 사례: 백신 접종의 집단 면역 효과, SNS 상의 전파 등)
  2. 처치의 일관성 (Consistency)
     • 처치의 ‘버전’이 하나여야 한다.
     • 관측된 처치($X$)가 동일하다면, 관측된 결과($Y$)는 해당 잠재적 결과($Y(x)$)와 같아야 한다.

• 인과적 추정량 (Causal Estimands)

  • ATE (Average Treatment Effect)
    • 전체 집단에 대한 평균 처치 효과 ($\tau =E[Y(1)-Y(0)]$)
  • CATE (Conditional ATE)
    • 특정 공변량($Z$)을 가진 집단의 평균 처치 효과
  • ATT
    • 처치를 받은 집단에 대한 평균 처치 효과

• 무작위 배정 (Randomized Experiments)

  • 무작위 배정은 관측된 공변량($Z$)뿐만 아니라 관측되지 않은 공변량($U$)까지 균형을 맞춘다.
  • Unconfoundedness (교란 없음)
    • 처치가 잠재적 결과와 독립임을 보장한다. ($X\perp (Y(1),Y(0))$)
    • 따라서 연관성이 곧 인과성을 의미하게 된다.

• 관찰 연구(Observational Studies)에서의 가정

  1. No Unmeasured Confounding (비교란 가정)
     • 공변량 $Z$를 통제했을 때, 처치는 마치 무작위로 배정된 것과 같아야 한다. ($\{Y(1),Y(0)\}\perp X|Z$)
  2. Positivity (Overlap, 긍정성/중첩)
     • 모든 공변량 $Z$ 값에 대해 처치군과 대조군이 존재할 확률이 0이나 1이 아니어야 한다. ($0<P(X=1|Z)<1$)

• 식별 (Identification)

  • 위 두 가정을 만족하면, 인과 효과(ATE)를 관측된 데이터의 조건부 기댓값 차이로 계산할 수 있다.

2. 구조적 인과 모델(SCM)

그래프(DAG)를 통해 변수 간의 인과 관계와 가정을 명확히 시각화한다.

• 인과 그래프와 $do(\cdot )$ 연산

  • 모델이 미지수일 때, 그래프($G$)를 통해 $P(V)$(관측 분포)에서 $P(y|do(x))$(개입 분포)를 도출하는 것이 목표이다.
  • Truncated Factorization: 마르코프 가정 하에서, 변수 $X$에 개입($do(x)$)하면 $X$로 들어오는 화살표가 제거되고, 나머지 조건부 확률들의 곱으로 분포가 표현된다.

• d-separation

  • 그래프 상에서의 분리(Separation)는 확률 분포 상의 조건부 독립(Conditional Independence)을 의미한다.

• 백도어 기준 (Back-door Criterion)

  • 관측된 연관성(Association)은 ‘인과(Causal)‘와 ‘교란(Confounding)‘이 섞여 있다.
  • 변수 집합 $Z$가 다음 두 조건을 만족하면 백도어 기준을 충족하며, 이를 통해 교란을 제거하고 인과 효과를 식별할 수 있다.
    1. $Z$의 어떤 노드도 $X$의 후손(descendant)이 아님 (인과 경로를 방해하지 않음)
    2. $Z$가 $X$로 들어가는 화살표를 포함한 모든 경로(교란 경로)를 차단함

• 조정 기준 (Adjustment Criterion)

  • 백도어 기준보다 더 일반적이고 완전한 기준이다.
  • SCM의 그래프적 기준은 PO의 ‘Unconfoundedness’ 가정과 수학적으로 동치이다.

3. 효율적인 추정을 위한 방법론 (Estimation Methods)

인과 효과를 식별한 후, 실제 데이터로 값을 추정하는 방법들이다.

• 회귀 분석 기반 추정 (Regression Estimator)

  • 처치군($X=1$)과 대조군($X=0$) 각각에 대해 결과($Y$)를 예측하는 회귀 모델(${\mu }_1(z),{\mu }_0(z)$)을 학습하여 차이를 계산한다.

• 역확률 가중치 (Inverse Probability Weighting, IPW)

  • 성향 점수 (Propensity Score, $e(Z)=P(X=1|Z)$)를 사용한다.
  • 각 샘플에 처치를 받을 확률의 역수를 가중치로 부여하여, 마치 무작위 실험을 한 것과 같은 가상의 모집단을 만들어 ATE를 추정한다.

• 이중 강건 추정량 (Doubly Robust Estimator)

  • 회귀 분석 모델과 IPW 방식을 결합한 방법이다.
  • 장점: ==결과 예측 모델($\mu$)이나 성향 점수 모델($e$) 중 하나만이라도 정확하면 일관된(consistent) 추정치를 얻을 수 있어, 모델 설정 오류(misspecification)에 강건한다.==